Перейти к: навигация, поиск

Наноструктуры. Математическая физика и моделирование, 2016, том 15, №2, 5–20

Е.В. Выборный

О методе ВКБ для разностных уравнений: вейлевский символ и фазовая геометрия

Ключевые слова: метод ВКБ, правило Бора-Зоммерфельда

Аннотация

В работе рассматривается задача о построении асимптотик решений разностных (рекуррентных) уравнений с медленно меняющимися коэффициентами. Как известно, в этом случае локальная асимптотика решений строится по аналогии с ВКБ приближением для линейных дифференциальных уравнений. В отличие от непрерывного случая, одним из существенных препятствий для широкого применения дискретного метода ВКБ является отсутствие геометрической интерпретации полученных асимптотических формул. В работе показано, что если рассматривать разностное уравнение, как псевдодифференциальное и ввести соответствующий вейливский гамильтониан, то можно построить простую геометрическую интерпретацию локальных асимптотик, точек поворота, правила Бора-Зоммерфельда и других базовых элементов квазиклассического приближения.

[ Полный текст статьи ]


Nanostructures. Mathematical physics and modelling, 2016, vol 15, №2, 5–20

E.V. Vybornyi

On the wkb method for difference equations: weyl symbol and the phase geometry

Keywords: WKB, Bohr-Sommerfeld rule

Abstract

We study the asymptotics of solutions of linear difference equations (recurrence relations) with slowly varying coeffi cients. It is known that the local asymptotic behavior of solutions can be obtained similarly to the WKB approximation for linear differential equations. In contrast to the continuous case, one of the major obstacles to the widespread use of discrete WKB method is the lack of a geometric interpretation of the obtained asymptotic formulas. We show that it is possible to build a simple geometric interpretation of discrete WKB method if one consider the difference equation as pseudo-differential with corresponding Weyl symbol (Hamiltonian). We obtain such a geometric interpretation for local asymptotics, turning points, the Bohr-Sommerfeld rule and other basic elements of the semiclassical approximation.

[ Full text ]