Ключевые слова: туннелирование, квантовые системы, одномерные системы
Аннотация
В работе рассмотрена задача о построении квазиклассической асимптотики дискретного спектра и соответствующих стационарных состояний одномерного оператора Шредингера при резонансном туннелировании. Рассмотрены две основных модели: туннелирование в несимметричном двуямном потенциале на прямой и импульсное туннелирование частицы в потенциальном поле на окружности. Для несимметричного двуямного потенциала построен критерий возникновения туннельного резонанса, получены необходимые и достаточные условия билокализации стационарных состояний, построены явные асимптотические формулы для величины расщепления в случае высоких энергетических уровней и для энергий, близких к положениям равновесия потенциала. Для задачи о динамическом туннелировании предложен общий операторный метод построения асимптотических формул для величины туннельного расщепления энергий. В задаче о туннелировании частицы на окружности предложенный метод позволил получить единую формулу для величины туннельного расщепления, применимую как в случае аналитического потенциала, так и для потенциала конечной гладкости. В качестве примера рассмотрена задача об импульсном туннелировании квантового маятника.
Keywords: tunneling, quantum effects, one-dimensional system
Abstract
We consider the problem of constructing semiclassical asymptotic expansions of discrete spectrum and the corresponding stationary states of one-dimensional Schrödinger operator in the case of resonance tunneling. We consider two basic models: tunneling in an asymmetric double-well potential on a line and momentum tunneling of a particle in a potential field on a circle. For an asymmetric double-well potential we obtain the criterion of resonance tunneling, i. e. the necessary and sufficient conditions of stationary states bilocalization. We obtain explicit asymptotic formulas for the tunneling energy splitting in the case of high energy levels and for energies close to the minima of the potential. In the general case of dynamic tunneling we proposed a general method to find the asymptotic estimates for the tunneling energy splitting. In the case of the particle on a circle our method yields an asymptotic formula for the tunneling splitting, which is applicable in the case of analytical potential as well as in the case of finite smoothness. As an example, we consider the problem of momentum tunneling of the quantum pendulum.
[ Full text ]