Ключевые слова: европейский опцион, хеджирование, минимаксный портфель, неполный рынок, опциональное разложение, представление, функция риска.
Аннотация
В статье построена модель ценообразования для европейского опциона на многомерном неполном рынке без транзакционных издержек с дискретным временем.С начала рассмотрена вспомогательная задача по нахождению верхнего гарантированного значения ожидаемого значения риска, экспоненциально зависящего от дефицита капитала. Верхнее гарантированное значение представляет собой минимаксное значение ожидаемого риска. Первой берется верхняя грань по множеству эквивалентных вероятностных мер, а затем – нижняя грань по множеству самофинансируемых портфелей. В статье найдены условия существования портфеля, на котором достигается нижняя грань. Этот результат позволил построить обобщение опционального разложения функции выплаты опциона. Затем получены условия существования вероятностной меры, доставляющей максимум ожидаемому значению риска. Эта мера оказалась мартингальной и дискретной, но в общем случае она не принадлежит множеству эквивалентных вероятностных мер. Наконец, показано, как полученные результаты для вспомогательной задачи позволяют получить явные формулы для цены европейского опциона на неполном рынке без транзакционных издержек. Во второй части статьи приведены примеры моделей ценообразования европейского опциона на рынках с одним рисковым активом: конеч- ного и с компактным носителем базовой вероятностной меры.
Keywords: European option, hedging, minimax portfolio, incomplete market, optional decomposition, S-representation, risk function.
Abstract
For European option in multidimensional incomplete market without transaction costs we design discreet time pricing model. At first the following auxiliary problem is to be considered: to find the upper guaranteed value for the expected risk depending exponentialy on a shortage. The upper guaranteed value is a minimax of the expected risk. First we take supremum over a set of equivalent probability measures. Then we take infimum over a set of self-financing portfolios. Here we find conditions for the existence of a portfolio such that an infimum is attained. We use this result to find a generalized optional decomposition for a contingent claim. Further, we obtain conditions for the existence of a probability measure such that the expected risk is maximal with respect to the measure. This measure turned out to be martingale and discreet and it does not belong to the set of equivalent measures. Finally, we demonstrate that our auxiliary results make it possible to obtain explicit pricing formulas for an European option in an incomplete market without transaction costs. In part II of the paper we present example models of European options’ pricing in a one-dimensional market and in a market, where support of basic probability measure is compact.
[ Full text ]